الاعداد الأولية من 1 إلى 100 و خصائصها وسماتها

الاعداد الأولية من 1 إلى 100 و خصائصها وسماتها هي الأعداد الأساسية التي هي أكبر من العدد 1 والتي لا تقبل التجزئة، ولا تقبل القسمة إلا على نفسها أو على الواحد الصحيح من غير باقي، كما هو الحال بالنسبة للعدد 3 أو العدد 5 أما إذا قبل العدد التجزئة، وأمكن قسمته على عدد آخر غير الواحد يسمى والأعداد غير الأولية، أو يسمى بالأعداد المركبة، كما هو الحال بالنسبة للعدد 4.

التعريف بالأعداد الأولية

هي أعداد لا نهائية، ولا نهاية لمسارها، وتعرف بأنها الأعداد غير القابلة للتقسيم إلا على عددين فقط العدد نفسه أو على العدد واحد دون أن تظل هناك كسور بعد القسمة، أما الأعداد التي تقبل القسمة على أعداد أخرى غير نفسها وغير الواحد فهي تسمى بالأعداد المركبة أو الأعداد غير الأولية، وبحسبة سهلة وبسيطة يمكننا الوقوف على محددات الأعداد الأولية والأعداد غير الأولية، من خلال ما يلي:

  • الأعداد الأولية من 1 إلى 100 هي تلك الأعداد التي تصادفك في خلال رحلتك العد من واحد إلى مائة من الأعداد الصحيحة ولا تجدها تقبل التجزئة إلا على نفسها أو على العدد واحد صحيح، وذلك مثل الأعداد 15 و19 مثلاً فهما من الأعداد الأولية حيث لا يقبلان القسمة إلا على أنفسهما أو الواحد الصحيح دون باقٍ.
  • أما إذا قبلت أعداد صحيحة خلال رحلتك للعد من واحد إلى مائة تقبل القسمة والتجزئة على أعداد أخرى دون باق، فهي الأعداد غير الأولية، أو (المركبة)، مثال: العدد 24 فهو عدد مركب حيث يقبل القسمة على 3، و8، و12، دون باقٍ.
  • أما أصغر الأعداد الأولية فهو العدد 2 ولا تو جد أعداد زوجية أخرى أولية غيره، بينما كافة الأعداد الأولية عداه فردية.
  • العدد 8 عدد غير أولي؛ لأنه يقبل القسمة على 1، 2، 4، 8 ، أما العدد 7 فهو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على نفسه، أو العدد واحد دون باقٍ.
  • العددان صفر وواحد فهما يغردان منفردين بعيدًا عن الأعداد الأولية والمركبة، فلا يمكن أن يسمى أي منهما عددا أوليًا أو عددًا مركبًا.

متى عرفت الأعداد الأولية

في رحلة بحثنا عن التعرف على الأعداد الأولية من 1 إلى 100 نذكر الرحلة التاريخية للأعداد الأولية على النحو التالي:

  • لا يعرف على وجه التحديد ما هي الحضارة صاحبة الفضل في اكتشاف الأعداد الأولية، فبينما تذكر بعض الخوارزميات أن المصريين القدماء هم أول من عرفوها و دونوها على معابدهم وبرديات منذ ما يزيد على الأربعة آلاف عام.
  • في حين تذكر بعض الدراسات أن أول من استخدم الأعداد الأولية على نحو صحيح هم اليونانيون وذلك قبل ألفين وخمسمائة عام، حيث اشتهر كل من عالمي الرياضة اليونانيين إقليدس  و إراتوستينس باستخدام تلك الأعداد في كتاباتهم والإشارة إليه.
  • أما الرومان فقد اكتفوا بما تعلموه ونقلوه من اليونانية وعلمائها، وم يزيدوا جديدًا على ما تعلموه بشأن الأعداد الأولية والمركبة على النحو الذي كان يعرفه اليونانيون.
  • أما العرب فقد اطلعوا على ما تركه اليونانيون، وتعلموا منه وزادوا عليه فهناك إضافات عربية ملموسة على الأعداد والأرقام، بل ربما يرجع لهم الفضل في تبسيط العمل الحسابي، فكان ابن قرة العالم العربي أول من تحدث عن الصلة بين الأعداد الأولية والمتتالية.

استخدام الأعداد الأولية

  • تستخدم الأعداد الأولية في تشفير البيانات الإلكترونية، وتستخدم كذلك في في الحفاظ على المعاملات المصرفية من الهكر والسطو عليها والإضرار بالعملاء.
  • من ضمن استخدامات الأعداد الأولية أيضًا تسجيلات المرور إلى المواقع والصفحات الخاصة بالعمل أو التواصل الاجتماعي.
  • وتكمن الطريقة المتبعة في التشفير عن طريق الأعداد الأولية بتشفيرها بأرقام أولية عادية ينتج منها رقمان أوليان كبيران، يكونان بمثابة المفتاح أو كلمة المرور أو الرقم المروري أو السري، ويطلق عليه أحيانًا  Pass word وأحيانًا يسمى  Key word، وبذلك يقطع العميل الطريق على اختراق تلك البيانات إلا بمعرفة الأعداد الأولية.

خصائص وسمات الأعداد الأولية

تمتلك الأعداد الأولية من 1 إلى 100 أو ما فوق ذلك العديد من الخصائص التي تجعلها أعدادًا مهمة، ومن أبرز تلك الخصائص والسمات:

  • الأعداد الأولية توزع بطريقة غير منسقة ولا مرتبة، ويكمن السبب في ذلك إلى عدد فهم علماء الطبيعة والرياضيات حتى اللحظة آلية تقسيم الأعداد الأولية بتلك الطريقة، فمن المعروف أنه كلما ارتفع العدد الأولي، كلما اتسعت الهوَّة بينه وبين الأرقام والأعداد التالية له.
  • تمتاز الأعداد الأولية بالتعقيد والتداخل، عكس الأعداد المفردة أو المزدوجة التي يعبر كل واحد منها عن رقم معين فهي تمتاز بالبساطة.
  • لا تبدأ الأعداد الأولية بالعدد 1 فهو عدد لا اعتبار له بالنسبة للأعداد الأولية والمركبة معًا، ولكن يعتبر أول عدد أولي تتمثل فيه شروط الأعداد الأولية التي تناولناها في التعريف هو العدد 2.
  • من خصائص الأعداد الأولية أنها كلها أعداد فردية ما عدا العدد 2 فهو وحده العدد الزوجي ضمن الأعداد الأولية.
  • كافة الأعداد الأولية باستثناء العددين (2،5) تنتهي بواحد من الأرقام التالية  (9, 7, 3, 1)؛ ذلك أن الأعداد الأولية التي تنتهي بأرقام (8, 6, 4, 2, 0) هي في الأصل من مضاعفات العدد 2 لذلك لا تعتبر أعدادًا أولية لقابليتها القسمة والتجزئة على أرقام أخرى غير نفسها وغير الواحد، أما الأعداد الأولية التي تنتهي بكسور فهي من مضاعفات العدد 5 فهي ليست أولية كذلك.

لأعداد الأولية من 1 إلى 1000

  • حديثًا قدم لنا أحد أساتذة الرياضيات بإحدى أكبر جامعات أمريكا وهي جامعة ميسوري وهو البروفيسور كيرتس كوبر أضخم عدد أولي توصل إليه حيث ذكر حوالي اثنين وعشرين مليون عدد أولي، في حين أن العدد قبله كان متوقفًا منذ زمن طويل على خمسة ملايين عدد.

وبعد أن أدركنا ما هي الأعداد الأولية والفرق بينها وبين الأعداد المركبة نذكر جدول الأعداد الأولية، ونكتفي هنا بجدول الأعداد الأولية من 1 إلى 100 وهي:

(2/ 3/ 5/ 7/ 11/ 13/17/19/23/ 29/31/37/41/43/47/53/59/61/ 67/ 71/ 73/79/83/89/97)

طريقة تحديد أولية العدد

تتوافر الكثير من الطرق التي تستعمل من أجل تحديد الأعداد الأولية ومن أبرز تلك الطرق:

اختبار جبريال إراتوستينس

  • وتقوم تلك الطريقة على سحب مضاعفات العدد 2 حتى المائة حتى تقسم الأعداد من 2 إلى 100 إلى فئتين في مضاعفات العدد 2 تكون مركبة، ولا ليست من مضاعفات العدد 2 تكون أولية.
  • على سبيل المثال: لو رغبنا في تحديد الأعداد الأولية الأدنى من المائة، فلنفترض مثلاً أن ب = 2 وبالتأكيد هو أقل الأعداد الأولية ومبدؤها نحصر في ب جميع الأرقام أقل من المائة التي تكون من مضاعفات العدد 2 حتى الرقم 100 هكذا: ب = (2/ 4/ 6/ 8/  … الخ 100).

اختبار ميرسيني

  • وهو من الاختبارات المشتتة الصعبة والتي تحتاج في إحصائها إلى متخصص، حيث تحتوي على معادلة ذات رموز وأرقام لا يستطيع الإنسان العادي القيام بها.
  • حيث يقوم ميرسيمي بافتراض أن (م ل = 2ل – 1، حيث ل عدد أولي، و م= 23 X 89 عدد مركب)، حيث أشار ميرسيني إلى أن قيمة ل = 216.091.
  • وكما نرى فإنها طريقة معقدة تفتقد إلى السهولة والبساطة وتحتاج إلى جهابذة في الرياضيات، ومن ثم نكتفي بالطريقة الأولى للتوصل إلى معرفة الأعداد الأولية.